1+2+2^2+2^3+....+2^63

这是一个等比数列，利用公式

Sn=(1-2^64)/(1-2) =2^64-1

还有一个初等方法

Sn=1+x+x^2+x^3+……+x^n
xSn=x+x^2+x^3+……+x^n+x^n+1

两式相减得：Sn-xSn=1-x^n+1
那么Sn=(1-x^n+1)/(1-x)

2是一个特殊的数，每多乘一次，只是增加一倍而已，所以，第一个式子的结果是2^64-1，要得到结果，数字很庞大……
第二个式子的结果是2^(n+1)-1。
这只适用于2的特殊情况，不具有普遍性。

楼上的
下面初等方法不就是推公式的过程啊

这是一个等比数列
首项a1=1,d=2
所以1+2+2^2+2^3+...2^n=1+(n+1)*2
=2n+1
所以1+2+2^2+2^3+...+2^63=129